Question

3．如圖，在直角坐標系中，曲線段AB是函數(shù)y=1-x²圖象的一部分，P為曲線段AB上異于點A，B一個動點，PM丄x軸，垂足為M，PN丄y軸，垂足為N．
（1）求PM+PN長度的范圍；
（2）求矩形PMON面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）由已知得A（1，0），B（0，1），設P點坐標為（x，y），則0＜x＜1，y=1-x²；從而可得PM+PN=x+y=1-x²+x，從而由二次函數(shù)求取值范圍；
（2）設矩形PMON面積為S，從而可得S=x（1-x²）=-x³+x，求導S′=-3x²+1=-3（x+$\frac{\sqrt{3}}{3}$）（x-$\frac{\sqrt{3}}{3}$）；從而判斷函數(shù)的單調性與最值即可．

解答 解：（1）由已知可得，A點坐標為（1，0），B點坐標為（0，1），
設P點坐標為（x，y），則0＜x＜1，y=1-x²；
PM+PN=x+y=1-x²+x，
當x=$\frac{1}{2}$時，PM+PN取最大值為$\frac{5}{4}$，
當x=0或1時，PM+PN=1，
所以PM+PN的范圍為（1，$\frac{5}{4}$]．
（2）設矩形PMON面積為S，
則S=x（1-x²）=-x³+x，
S′=-3x²+1=-3（x+$\frac{\sqrt{3}}{3}$）（x-$\frac{\sqrt{3}}{3}$）；

x	（0，$\frac{\sqrt{3}}{3}$）	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，1）
S′	+	0	-
S	遞增	$\frac{2\sqrt{3}}{9}$	遞減

由上表知，當x=$\frac{\sqrt{3}}{3}$時，S取得極大值，也就是最大值，
即S的最大值為$\frac{2\sqrt{3}}{9}$．

點評 本題考查了導數(shù)的綜合應用及數(shù)形結合的應用，屬于中檔題．