Question

5．在正四棱錐S-ABCD中，SA=2$\sqrt{3}$，當該棱錐的體積最大時，它的外接球（正四棱錐的頂點都在球的表面上）的體積為36π．

Answer 1

分析 設出底面邊長，求出正四棱錐的高，寫出體積表達式，利用求導求得最大值時，高的值，再求出外接球的半徑，即可得出結論．

解答 解：設底面邊長為a，則高h=$\sqrt{12-\frac{{a}^{2}}{2}}$，
所以體積V=$\frac{1}{3}$a²h=$\frac{1}{3}\sqrt{12{a}^{4}-\frac{1}{2}{a}^{6}}$，
設y=12a⁴-$\frac{1}{2}$a⁶，則y′=48a³-3a⁵，當y取最值時，y′=48a³-3a⁵=0，解得a=0或a=4時，
當a=4時，體積最大，此時h=2，
設外接球的半徑為R，則R²=（2-R）²+（2$\sqrt{2}$）²，
所以R=3，
所以外接球（正四棱錐的頂點都在球的表面上）的體積為$\frac{4}{3}π•{3}^{3}$=36π．
故答案為：36π．

點評 本試題主要考查錐體的體積，考查高次函數(shù)的最值問題的求法．是中檔題．