Question

如圖所示，海中小島A周圍55海里內(nèi)有暗礁，船向正南航行，在B處測(cè)得小島A在船的南偏東30°，船行40海里后，在C處測(cè)得小島A在船的南偏東45°，如果此船不改變航向，繼續(xù)向南航行，有無(wú)觸礁的危險(xiǎn)？（參考數(shù)據(jù)，

2

≈1.41，

3

≈1.73）

Answer 1

分析：法一：過(guò)A作AE⊥BC于點(diǎn)E．在△ABC中，由正弦定理求出AC，然后求出AE，AE是否小于55，判斷有無(wú)觸礁的危險(xiǎn)．
法二：過(guò)A作AE⊥BC于點(diǎn)E．在RT△ACE中，求出AE，AE是否小于55，判斷有無(wú)觸礁的危險(xiǎn)．

解答：解：法一：過(guò)A作AE⊥BC于點(diǎn)E．
在△ABC中，BC=40，∠B=30°，
∠ACB=180°-45°=135°，
∠BAC=180°-（30°+135°）=15° …（2分）
由正弦定理可知：

BC

sin∠BAC

=

AC

sin∠B

∴AC=

BC•sin∠B

sin∠BAC

=

40×sin30°

sin15°

=80•cos15°=80•cos(60°-45°)
=80•

6 + 2

4

=20(

6

+

2

)…（6分）
∴A到BC所在直線的距離  AE=ACsin45°≈20×（1.73+1）=54.6（海里）＜55海里…（10分）
∴小船繼續(xù)向南航行有觸礁的危險(xiǎn)．…（12分）
法二：過(guò)A作AE⊥BC于點(diǎn)E．在△ABC中，BC=40，∠B=30°
在RT△ACE中，∠ACE=45°∴AE=CE，…（4分）
∴在RT△ACE中有

AE

BC+CE

=tan∠ABE，即

AE

40+AE

=

3

3

…（10分）
解得AE=

40 3

3- 3

=

40

3 -1

=20(

3

+1)≈54.6海里 …（10分）
∴A到BC所在直線的距離d＜55海里
∴小船繼續(xù)向南航行有觸礁的危險(xiǎn)．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：此題考查了正弦、余弦定理，以及兩角和與差的余弦函數(shù)公式，熟練掌握定理是解本題的關(guān)鍵．