Question

9．已知雙曲線C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦點F也是拋物線C₂：y²=2px（p＞0）的焦點，C₁與C₂的一個交點為P，若PF⊥x軸，則雙曲線C₁的離心率為（　�。�

• A． $\sqrt{2}$+1
• B． 2$\sqrt{2}$
• C． 2$\sqrt{2}$-1
• D． $\sqrt{3}$+1

Answer 1

分析 根據拋物線的方程算出其焦點為F（$\frac{p}{2}$，0），得到|PF|=p．設雙曲線的另一個焦點為F′，由雙曲線的右焦點為F算出雙曲線的焦距|FF′|=p，△TFF′中利用勾股定理算出|MF′|=$\sqrt{2}$p，再由雙曲線的定義算出2a=（$\sqrt{2}$-1）p，利用雙曲線的離心率公式加以計算，可得答案．

解答 解：拋物線y²=2px的焦點為F（$\frac{p}{2}$，0），
由MF與x軸垂直，令x=$\frac{p}{2}$，可得|MF|=p，
雙曲線 $\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的實半軸為a，半焦距c，另一個焦點為F'，
由拋物線y²=2px的焦點F與雙曲線的右焦點重合，
即c=$\frac{p}{2}$，可得雙曲線的焦距|FF′|=2c=p，
由于△MFF′為直角三角形，則|MF′|=$\sqrt{|FF′{|}^{2}+|PF{|}^{2}}$=$\sqrt{2}$p，
根據雙曲線的定義，得2a=|MF′|-|MF|=$\sqrt{2}$p-p，可得a=（$\sqrt{2}-1$）p．
因此，該雙曲線的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\frac{1}{2}p}{\frac{（\sqrt{2}-1）p}{2}}$=$\sqrt{2}+1$．
故選：A．

點評 本題給出共焦點的雙曲線與拋物線，在它們的交點在x軸上射影恰好為拋物線的焦點時，求雙曲線的離心率．著重考查了拋物線和雙曲線的定義與標準方程、簡單幾何性質等知識，屬于中檔題．