Question

3．已知拋物線Γ：y²=2px，準線與x軸的交點為P（-2，0）．
（Ⅰ）求拋物線Γ的方程；
（Ⅱ）如圖，Q（1，0），過點P的直線l與拋物線Γ交于不同的兩點A，B，AQ與BQ分別與拋物線Γ交于點C，D，設(shè)AB，DC的斜率分別為k₁，k₂，AD，BC的斜率分別為k₃，k₄，問：是否存在常數(shù)λ，使得k₁k₃k₄=λk₂，若存在，求出λ的值，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用拋物線的性質(zhì)，求出p，即可求拋物線Γ的方程；
（Ⅱ）假設(shè)存在實數(shù)λ，設(shè)AB的直線方程為x=my-2，與拋物線方程聯(lián)立，由$\overrightarrow{AQ}∥\overrightarrow{AC}$化簡可得y₁y₃=-8，同理可得y₂y₄=-8，利用k₁k₃k₄=λk₂，求出λ的值．

解答 解：（Ⅰ）因為準線與x軸的交點為P（-2，0），所以p=4．
所以拋物線Γ的方程為y²=8x----------（4分）
（Ⅱ）假設(shè)存在實數(shù)λ
設(shè)AB的直線方程為x=my-2，$A（{\frac{y_1^2}{8}，{y_1}}）$，$B（{\frac{y_2^2}{8}，{y_3}}）$，$C（{\frac{y_3^2}{8}，{y_3}}）$，$D（{\frac{y_4^2}{8}，{y_4}}）$
由$\left\{\begin{array}{l}x=my-2\\{y^2}=8x\end{array}\right.$化簡得：y²-8my+16=0
所以$\left\{\begin{array}{l}{y_1}+{y_2}=8m\\{y_1}{y_2}=16\end{array}\right.$----------（7分）
$\overrightarrow{AQ}=（{1-\frac{y_1^2}{8}，-{y_1}}），\overrightarrow{AC}=（{\frac{y_3^2}{8}-\frac{y_1^2}{8}，{y_3}-{y_1}}）$
由$\overrightarrow{AQ}∥\overrightarrow{AC}$化簡可得y₁y₃=-8，
同理可得y₂y₄=-8----------（10分）
因為${k_1}=\frac{8}{{{y_1}+{y_2}}}$，${k_2}=\frac{8}{{{y_3}+{y_4}}}=\frac{8}{{\frac{-8}{y_1}+\frac{-8}{y_2}}}=-\frac{{{y_1}{y_2}}}{{{y_1}+{y_2}}}$，${k_3}=\frac{8}{{{y_1}+{y_4}}}=\frac{8}{{{y_1}-\frac{8}{y_2}}}={y_2}$，${k_4}=\frac{8}{{{y_2}+{y_3}}}={y_1}$
所以代入k₁k₃k₄=λk₂得$\frac{8}{{{y_1}+{y_2}}}$y₁y₂=$-λ\frac{{{y_1}{y_2}}}{{{y_1}+{y_2}}}$，
所以存在λ=-8----------（15分）

點評 本題考查拋物線的方程，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查韋達定理的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．