Question

17．已知等比數(shù)列{a_n}前n項(xiàng)的和為2ⁿ-1（n∈N⁺），則數(shù)列{a²_n}前n項(xiàng)的和為$\frac{{4}^{n}-1}{3}$．

Answer 1

分析 先求出數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)和公比，進(jìn)而計(jì)算可得結(jié)論．

解答 解：∵等比數(shù)列{a_n}前n項(xiàng)的和為2ⁿ-1（n∈N⁺），
∴a₁=2¹-1=1
a₁+a₂=2²-1=3，
∴a₂=3-a₁=3-1=2，
∴q=$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=2，
從而數(shù)列{a²_n}是以1為首項(xiàng)、4為公比的等比數(shù)列，
∴其前n項(xiàng)和為：$\frac{1-{4}^{n}}{1-4}$=$\frac{{4}^{n}-1}{3}$，
故答案為：$\frac{{4}^{n}-1}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)，考查運(yùn)算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．