Question

設(shè)數(shù)列{a_n}，{b_n}滿足a₁=b₁，且對(duì)任意正整數(shù)n，{a_n}中小于等于n的項(xiàng)數(shù)恰為b_n；{b_n}中小于等于n的項(xiàng)數(shù)恰為a_n．

    （1）求a₁；

    （2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

（1）首先，容易得到一個(gè)簡(jiǎn)單事實(shí)：{a_n}與{b_n}均為不減數(shù)列且a_n∈N，b_n∈N．

若a₁=b₁=0，故{a_n}中小于等于1的項(xiàng)至少有一項(xiàng)，從而b₁≥1，這與b₁=0矛盾．

若a₁=b₁≥2，則{a_n}中沒有小于或等于1的項(xiàng)，從而b₁=0，這與b₁≥2矛盾．

所以，a₁=1．

（2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，a_k=b_k=k，k∈N*．

若a_k+1≥k+2，因{a_n}為不減數(shù)列，故{a_n}中小于等于k+1的項(xiàng)只有k項(xiàng)，

于是b_k+1=k，此時(shí){b_n}中小于等于k的項(xiàng)至少有k+1項(xiàng)(b₁，b₂，…，b_k，b_k+1)，

從而a_k≥k+1，這與假設(shè)a_k=k矛盾．

若a_k+1=k，則{a_n}中小于等于k的項(xiàng)至少有k+1項(xiàng)(a₁，a₂，…，a_k，a_k+1)，

于是b_k≥k+1，這與假設(shè)b_k=k矛盾．

所以，a_k+1=k+1．

所以，當(dāng)n=k+1時(shí)，猜想也成立．

綜上，由(1)，(2)可知，a_n=b_n=n對(duì)一切正整數(shù)n恒成立．

所以，a_n=n，即為所求的通項(xiàng)公式．