Question

4．求下列函數(shù)的最大值與最小值
（1）f（x）=lnx+ln（2-x），x∈[$\frac{1}{2}$，1]；
（2）f（x）=x³-3x²+2，x∈[-1，3]．

Answer 1

分析 （1）化簡(jiǎn)f（x）=lnx（2-x），從而再討論二次函數(shù)x（2-x）=-（x-1）²+1的取值范圍，從而求最值；
（2）求導(dǎo)f′（x）=3x²-6x=3x（x-2），從而由導(dǎo)數(shù)確定f（x）在[-1，0]上是增函數(shù)，在[0，2]上是減函數(shù)，在[2，3]上是增函數(shù)；從而求最值．

解答 解：（1）f（x）=lnx+ln（2-x）=lnx（2-x），
x（2-x）=-（x-1）²+1，
∵x∈[$\frac{1}{2}$，1]，
∴$\frac{3}{4}$≤-（x-1）²+1≤1，
∴l(xiāng)n$\frac{3}{4}$≤f（x）≤ln1=0；
故最大值為0，最小值為ln$\frac{3}{4}$；
（2）∵f（x）=x³-3x²+2，
∴f′（x）=3x²-6x=3x（x-2），
∴f（x）在[-1，0]上是增函數(shù)，在[0，2]上是減函數(shù)，在[2，3]上是增函數(shù)；
且f（-1）=-1-3+2=-2，f（0）=2，f（2）=8-12+2=-2，f（3）=27-27+2=2；
故最大值為2，最小值為-2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用及復(fù)合函數(shù)的應(yīng)用，同時(shí)考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．