Question

2．已知函數(shù)f（x）=lnx-ax+$\frac{a}{x}$，其中a為常數(shù)．
（Ⅰ）若f（x）的圖象在x=1處的切線經(jīng)過點(diǎn)（3，4），求a的值；
（Ⅱ）若0＜a＜1，求證：$f（\;\frac{a^2}{2}\;）＞0$；
（Ⅲ）當(dāng)函數(shù)f（x）存在三個不同的零點(diǎn)時，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得到f'（1）=1-2a，又${f}^{′}（1）=\frac{4-f（1）}{3-1}=2$，得1-2a=2，求得a=$-\frac{1}{2}$；
（Ⅱ）求出$f（\frac{a^2}{2}）=ln\frac{a^2}{2}-\frac{a^3}{2}+\frac{2}{a}=2lna+\frac{2}{a}-\frac{a^3}{2}-ln2$，構(gòu)造函數(shù)$g（x）=2lnx+\frac{2}{x}-\frac{x^3}{2}-ln2$，由導(dǎo)數(shù)求得$g（x）＞g（1）=2-\frac{1}{2}-ln2＞0$得答案；
（Ⅲ）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，然后分a≤0，a$≥\frac{1}{2}$，0$＜a＜\frac{1}{2}$三種情況討論f（x）的零點(diǎn)的個數(shù)．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=lnx-ax+$\frac{a}{x}$，∴$f'（x）=\frac{1}{x}-a（1+\frac{1}{x^2}）$，
∴f'（1）=1-2a，
又${f}^{′}（1）=\frac{4-f（1）}{3-1}=2$，∴1-2a=2，a=$-\frac{1}{2}$；
（Ⅱ）$f（\frac{a^2}{2}）=ln\frac{a^2}{2}-\frac{a^3}{2}+\frac{2}{a}=2lna+\frac{2}{a}-\frac{a^3}{2}-ln2$，
令$g（x）=2lnx+\frac{2}{x}-\frac{x^3}{2}-ln2$，
則$g'（x）=\frac{2}{x}-\frac{2}{x^2}-\frac{{3{x^2}}}{2}=\frac{{-3{x^4}+4（x-1）}}{{2{x^2}}}$，
∴x∈（0，1）時，g'（x）＜0，g（x）單調(diào)遞減，
故x∈（0，1）時，$g（x）＞g（1）=2-\frac{1}{2}-ln2＞0$，
∴當(dāng)0＜a＜1時，$f（\;\frac{a^2}{2}\;）＞0$；
（Ⅲ）∵$f'（x）=\frac{1}{x}-a（1+\frac{1}{x^2}）=\frac{{-a{x^2}+x-a}}{x^2}$，
①當(dāng)a≤0時，在（0，+∞）上，f'（x）＞0，f（x）遞增，
∴f（x）至多只有一個零點(diǎn)，不合題意；
②當(dāng)a$≥\frac{1}{2}$時，在（0，+∞）上，f′（x）≤0，f（x）遞減，
∴f（x）至多只有一個零點(diǎn)，不合題意；
③當(dāng)0$＜a＜\frac{1}{2}$時，令f′（x）=0，得${x}_{1}=\frac{1-\sqrt{1-4{a}^{2}}}{2a}，{x}_{2}=\frac{1+\sqrt{1-4{a}^{2}}}{2a}$，
此時，f（x）在（0，x₁）上遞減，（x₁，x₂）上遞增，（x₂，+∞）上遞減，
∴f（x）至多有三個零點(diǎn)．
∵f（x）在（x₁，1）遞增，∴f（x₁）＜f（1）=0，
又∵$f（\frac{a^2}{2}）＞0$，
∴$?{x_0}∈（\frac{a^2}{2}，{x_1}）$，使得f（x₀）=0，
又$f（\frac{1}{x_0}）=-f（{x_0}）=0，f（1）=0$，
∴恰有三個不同零點(diǎn)：${x_{0，}}1，\frac{1}{x_0}$，
∴函數(shù)f（x）存在三個不同的零點(diǎn)時，a的取值范圍是$（0，\frac{1}{2}）$．

點(diǎn)評 本題主要考查基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用；考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力以及應(yīng)用意識，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、分類與整合思想、函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想等，是壓軸題．