Question

（本小題12分）已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)是和，并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)恰好是橢圓的右頂點(diǎn).

（1）求橢圓和拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過(guò)點(diǎn)作兩條斜率都存在且互相垂直的直線(xiàn)，，交拋物線(xiàn)于點(diǎn)，，交拋物線(xiàn)于點(diǎn)，，求的最小值.

Answer 1

（1）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為；

（2）有最小值.

【解析】

試題分析：（1）由題意得，，從而，即可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，∴橢圓右頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，即拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，∴，，拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為；

（2）設(shè)的方程：，的方程：，，，，，注意到，且它們交于點(diǎn)，∴可將作如下變形：

，這樣先將用，，，表示出來(lái)，再利用韋達(dá)定理用表示，再求其最小值.

試題解析：（1）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，焦距為，則由題意得，，∴，，∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，∴右頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，設(shè)拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為，∴，，∴拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為；

（2）設(shè)的方程：，的方程：，，，，，由，消去得：，

∴，，，同理，，∴

，

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，有最小值.

考點(diǎn)：1.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程；2.平面向量的數(shù)量積；3.直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系.

考點(diǎn)分析： 考點(diǎn)1：平面向量的數(shù)量積 試題屬性

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