Question

13．已知曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），以坐標(biāo)原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為ρsin（$\frac{π}{4}$+θ）=2$\sqrt{2}$
（1）將曲線C上各點的縱坐標(biāo)伸長為原來的兩倍，得到曲線C₁，寫出曲線C₁的極坐標(biāo)方程．
（2）射線θ=$\frac{π}{6}$與C₁、l的交點分別為A、B，射線θ=-$\frac{π}{6}$與C₁、l的交點分別為A₁、B₁，求△OAA₁與△OBB₁的面積之比．

Answer 1

分析 （1）曲線C的參數(shù)方程中用$\frac{y}{2}$代y，可得曲線C₁的參數(shù)方程，化為普通方程和極坐標(biāo)方程即可得到；
（2）由極坐標(biāo)表示點A、A₁和B、B₁，運用三角形的面積公式計算△OAA₁與△OBB₁的面積，即可得到它們的比．

解答 解：（1）在曲線C的參數(shù)方程$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)）中用$\frac{y}{2}$代y，
得到曲線C₁的參數(shù)方程$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），
化為普通方程為x²+y²=4，
故曲線C₁的極坐標(biāo)方程ρ=2；
（2）依題意知點A、A₁的極坐標(biāo)分別為（2，$\frac{π}{6}$），（2，-$\frac{π}{6}$），
設(shè)B、B₁的極坐標(biāo)分別為（ρ₁，$\frac{π}{6}$），（ρ₂，-$\frac{π}{6}$），
則ρ₁ρ₂=$\frac{2\sqrt{2}}{sin（\frac{π}{4}+\frac{π}{6}）}$•$\frac{2\sqrt{2}}{sin（\frac{π}{4}-\frac{π}{6}）}$=$\frac{8}{sin\frac{5π}{12}sin\frac{π}{12}}$=$\frac{16}{sin\frac{π}{6}}$=32，
所以${S}_{△OA{A}_{1}}$=2sin$\frac{π}{3}$=$\sqrt{3}$，
${S}_{△OB{B}_{1}}$=$\frac{1}{2}$ρ₁ρ₂sin$\frac{π}{3}$=16×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=8$\sqrt{3}$，
故$\frac{{S}_{△OA{A}_{1}}}{{S}_{△OB{B}_{1}}}$=$\frac{1}{8}$．

點評 本題考查直角坐標(biāo)和極坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化和參數(shù)方程與極坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化，考查運算能力，屬于中檔題．