Question

1．設(shè)g（x）=x-1，已知f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2g（{x}^{2}）-g（x-1），g（2x）≤g（x）}\\{g（x）-g（{x}^{2}），g（2x）＞g（x）}\end{array}\right.$，若關(guān)于x的方程f（x）=m恰有三個互不相等的實(shí)根x₁，x₂，x₃，則x₁²+x₂²+x₃²的取值范圍是（$\frac{6-\sqrt{3}}{8}$，1）．

Answer 1

分析 化簡f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2{x}^{2}-x，x≤0}\\{-{x}^{2}+x，x＞0}\end{array}\right.$，從而作出其圖象，結(jié)合圖象可得0＜m＜$\frac{1}{4}$，從而分別討論x₁，x₂，x₃，再令y=x₁²+x₂²+x₃²=$\frac{1-2\sqrt{1+8m}+1+8m}{16}$+1-2m，化簡并利用換元法求取值范圍即可．

解答 解：∵g（x）=x-1，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2g（{x}^{2}）-g（x-1），g（2x）≤g（x）}\\{g（x）-g（{x}^{2}），g（2x）＞g（x）}\end{array}\right.$，
f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2{x}^{2}-2-（x-2），2x-1≤x-1}\\{x-1-（{x}^{2}-1），2x-1＞x-1}\end{array}\right.$；
即f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2{x}^{2}-x，x≤0}\\{-{x}^{2}+x，x＞0}\end{array}\right.$；
作出其圖象如下，

若方程f（x）=m有三個根，
則0＜m＜$\frac{1}{4}$，
且當(dāng)x＞0時，方程可化為-x²+x-m=0，
易知，x₂+x₃=1，x₂x₃=m；
當(dāng)x≤0時，方程可化為x²-x-m=0，
可解得x₁=$\frac{1-\sqrt{1+8m}}{4}$；
記y=x₁²+x₂²+x₃²=$\frac{1-2\sqrt{1+8m}+1+8m}{16}$+1-2m
=-$\frac{3}{2}$m-$\frac{1}{8}$$\sqrt{1+8m}$+$\frac{9}{8}$；
令t=$\sqrt{1+8m}$∈（1，$\sqrt{3}$），
則y=-$\frac{3}{16}$t²-$\frac{1}{8}$t+$\frac{21}{16}$，
解得，y∈（$\frac{6-\sqrt{3}}{8}$，1）．
故答案為：（$\frac{6-\sqrt{3}}{8}$，1）．

點(diǎn)評 本題考查了分段函數(shù)的應(yīng)用及數(shù)形結(jié)合的思想應(yīng)用，同時考查了換元法的應(yīng)用及方程的根與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)的關(guān)系應(yīng)用，屬于中檔題．