Question

1．已知點A（0，2），圓O：x²+y²=1．
（Ⅰ）求經(jīng)過點A與圓O相切的直線方程；
（Ⅱ）若點P是圓O上的動點，求$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{AP}$的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由已知中直線過點A我們可以設(shè)出直線的點斜式方程，然后化為一般式方程，代入點到直線距離公式，根據(jù)直線與圓相切，圓心到直線的距離等于半徑，可以求出k值，進而得到直線的方程；
（2）設(shè)出P點的坐標(biāo)，借助坐標(biāo)來表示兩個向量的數(shù)量積，再根據(jù)P在圓上的條件，進而得到結(jié)論．

解答 （本小題滿分10分）
解：（ I）由題意，所求直線的斜率存在．
設(shè)切線方程為y=kx+2，即kx-y+2=0，-------------（1分）
所以圓心O到直線的距離為$d=\frac{2}{{\sqrt{{k^2}+1}}}$，-------------（3分）
所以$d=\frac{2}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=1$，解得$k=±\sqrt{3}$，-------------（4分）
所求直線方程為$y=\sqrt{3}x+2$或$y=-\sqrt{3}x+2$．-------------（5分）
（ II）設(shè)點P（x，y），
所以 $\overrightarrow{OP}=（x，y）$，$\overrightarrow{AP}=（x，y-2）$，-------------（6分）
所以 $\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{AP}={x^2}+{y^2}-2y$．-------------（7分）
因為點P在圓上，所以x²+y²=1，所以$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{AP}=1-2y$．-------------（8分）
又因為x²+y²=1，所以-1≤y≤1，-------------（9分）
所以$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{AP}∈[-1，3]$．-------------（10分）

點評 本題考查的知識是直線和圓的方程的應(yīng)用，其中熟練掌握直線與圓不同位置關(guān)系時，點到直線的距離與半徑的關(guān)系是關(guān)鍵，還考查了向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示．