Question

2．方程x²-2（a+2）x+a²+1=0的兩個實根為x₁，x₂，且$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$+$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$的取值范圍是[4，6），求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 利用韋達定理對$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$+$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$進行化簡，再計算，即可求實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：∵方程x²-2（a+2）x+a²+1=0有兩實根
∴4（a+2）²-4×（a²+1）≥0
解得a≥-$\frac{3}{4}$，
∵x₁，x₂是方程x²-2（a+2）x+a²+1=0兩實根，
∴x₁+x₂=2（a+2），x₁•x₂=a²+1，
∴x₁²+x₂²=2a²+16a+14
∴$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$+$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$=$\frac{2{a}^{2}+16a+14}{{a}^{2}+1}$=2+$\frac{16a+12}{{a}^{2}+1}$
∵$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$+$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$的取值范圍是[4，6），
∴2≤$\frac{16a+12}{{a}^{2}+1}$＜4
解得4-$\sqrt{21}$≤a≤2+$\sqrt{2}$．
∵a≥-$\frac{3}{4}$，
∴4-$\sqrt{21}$≤a≤2+$\sqrt{2}$．

點評 本題主要考查了根與系數(shù)的關系，將根與系數(shù)的關系與代數(shù)式變形相結合解題是一種經(jīng)常使用的解題方法．