Question

1．已知拋物線Γ：y²=2px（p＞0）的準線過橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的一個焦點，拋物線與橢圓的一個交點P到橢圓兩焦點的距離之和為4，直線l₁：y=x+$\frac{^{2}}{3}$與拋物線僅有一個交點．
（1）求拋物線Γ的方程以及橢圓E的方程；
（2）已知過原點O且斜率為k（k＞0）的直線l₂與拋物線Γ交于O、A兩不同點，與橢圓交于B、C兩不同點，其中B、C兩點的縱坐標分別滿足y_B＜0，y_C＞0，若$\overrightarrow{BO}$=$\overrightarrow{CA}$，求直線l₂的方程．

Answer 1

分析 （1）求得拋物線的準線方程，由題意可得p=2c，再由橢圓的定義可得a=2，聯(lián)立直線和拋物線方程，運用判別式為0，可得p，b的方程，解方程組，可得a=2，p=2，b=$\sqrt{3}$，c=1，進而得到拋物線和橢圓方程；
（2）設出直線方程，聯(lián)立拋物線和橢圓方程，求得交點的坐標，再由向量共線的坐標表示，解方程可得k，進而得到所求直線方程．

解答 解：（1）y²=2px（p＞0）的準線為x=-$\frac{p}{2}$，
由題意可得-$\frac{p}{2}$=-c，①
交點P到橢圓兩焦點的距離之和為4，即為2a=4，
b²+c²=4，②
y=x+$\frac{^{2}}{3}$與拋物線y²=2px聯(lián)立，可得$\frac{1}{2p}$y²-y+$\frac{^{2}}{3}$=0，
即有判別式1-$\frac{2^{2}}{3p}$=0，③
由①②③解得p=2，b=$\sqrt{3}$，c=1，a=2．
則拋物線Γ的方程為y²=4x，橢圓E的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（2）聯(lián)立直線l₂：y=kx和拋物線方程y²=4x，可得A（$\frac{4}{{k}^{2}}$，$\frac{4}{k}$），
聯(lián)立直線l₂：y=kx和橢圓方程$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，
可得B（-$\sqrt{\frac{12}{3+4{k}^{2}}}$，-k•$\sqrt{\frac{12}{3+4{k}^{2}}}$），C（$\sqrt{\frac{12}{3+4{k}^{2}}}$，k•$\sqrt{\frac{12}{3+4{k}^{2}}}$），
由$\overrightarrow{BO}$=$\overrightarrow{CA}$，可得$\sqrt{\frac{12}{3+4{k}^{2}}}$=$\frac{4}{{k}^{2}}$-$\sqrt{\frac{12}{3+4{k}^{2}}}$，
解得k=$\frac{\sqrt{6+3\sqrt{13}}}{3}$，
即有直線l₂的方程為y=$\frac{\sqrt{6+3\sqrt{13}}}{3}$x．

點評 本題考查橢圓和拋物線的定義、方程和性質，考查直線和橢圓、拋物線的位置關系，考查向量共線的坐標表示，屬于中檔題．