Question

4．已知a、b、c為正實(shí)數(shù)，且a+b+c=1，求證（$\frac{1}{a}$-1）（$\frac{1}$-1）（$\frac{1}{c}$-1）≥8．

Answer 1

分析 將a+b+c=1代入，再利用基本不等式，即可證明結(jié)論．

解答 證明：∵a、b、c為正實(shí)數(shù)，且a+b+c=1，
∴（$\frac{1}{a}$-1）（$\frac{1}$-1）（$\frac{1}{c}$-1）=$\frac{1-a}{a}$•$\frac{1-b}$•$\frac{1-c}{c}$
=$\frac{b+c}{a}$•$\frac{a+c}$•$\frac{a+b}{c}$
≥$\frac{2\sqrt{bc}}{a}$•$\frac{2\sqrt{ac}}$•$\frac{2\sqrt{ab}}{c}$=8，
當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)，等號(hào)成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查不等式的證明，考查用綜合法證明不等式，屬于中檔題．