Question

11．不等式（m²-2m-3）x²-（m-3）x-1＜0對一切x∈R恒成立，則實數m的取值范圍為（-$\frac{1}{5}$，3]．

Answer 1

分析 要分別考慮二次項系數為0和不為0兩種情況，當二次項系數為0時，只要驗證是否對一切x∈R成立即可；當二次項系數不為0時，主要用二次函數開口方向和判別式求出m的取值范圍，最后兩種情況下求并集即可．

解答 解：若m²-2m-3=0，則m=-1或m=3，
若m=-1，不等式（m²-2m-3）x²-（m-3）x-1＜0為4x-1＜o不合題意；
若m=3，不等式（m²-2m-3）x²-（m-3）x-1＜0為-1＜0對一切x∈R恒成立，所以m=3可取，
設f（x）=（m²-2m-3）x²-（m-3）x-1，
當 m²-2m-3＜0且△=[-（m-3）]²+4（m²-2m-3）＜0，解得：-$\frac{1}{5}$＜m＜3，
即-$\frac{1}{5}$＜m≤3時不等式（m²-2m-3）x²-（m-3）x-1＜0對一切x∈R恒成立，
故答案為：$（{-\frac{1}{5}，3}]$．

點評 本題主要考查二次函數恒成立問題，考慮二次項系數為0的情況容易忽略，所以也是易錯題．