Question

2．（1）已知實(shí)數(shù)x，y滿足：|x-y|＜1，|2x+y|＜1求證：|y|＜1；
（2）已知a＞b＞c＞d，求證：$\frac{1}{a-b}$+$\frac{1}{b-c}$+$\frac{1}{c-d}$≥$\frac{9}{a-d}$．

Answer 1

分析 （1）通過變形、利用絕對值不等式計算可得結(jié)論；
（2）通過a-b＞0、b-c＞0、c-d＞0及（$\frac{1}{a-b}$+$\frac{1}{b-c}$+$\frac{1}{c-d}$）[（a-b）+（b-c）+（c-d）]，利用基本不等式計算即得結(jié)論．

解答 證明：（1）∵3|y|=|3y|
=|（2x+y）-2（x-y）|
≤|2x+y|+2|x-y|
＜1+2
=3，
∴|y|＜1；
（2）∵a＞b＞c＞d，
∴a-b＞0，b-c＞0，c-d＞0，
∴（$\frac{1}{a-b}$+$\frac{1}{b-c}$+$\frac{1}{c-d}$）（a-d）=（$\frac{1}{a-b}$+$\frac{1}{b-c}$+$\frac{1}{c-d}$）=[（a-b）+（b-c）+（c-d）]
≥3$\root{3}{\frac{1}{a-b}•\frac{1}{b-c}•\frac{1}{c-a}}$•3$\root{3}{（a-b）（b-c）（c-d）}$
=9，
∴$\frac{1}{a-b}$+$\frac{1}{b-c}$+$\frac{1}{c-d}$≥$\frac{9}{a-d}$．

點(diǎn)評 本題考查不等式的證明，對表達(dá)式的靈活變形是解決本題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．