Question

如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)橢圓，其中，過(guò)橢圓內(nèi)一點(diǎn)的兩條直線分別與橢圓交于點(diǎn)和，且滿足，，其中為正常數(shù). 當(dāng)點(diǎn)恰為橢圓的右頂點(diǎn)時(shí)，對(duì)應(yīng)的.

（1）求橢圓的離心率；

（2）求與的值；

（3）當(dāng)變化時(shí)，是否為定值？若是，請(qǐng)求出此定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

 

 

Answer 1

（1）；（2）；（3）

【解析】

試題分析：（1）求橢圓的離心率，即尋找關(guān)于a,c的等式，而題中已知了，在橢圓中有代入已知等式，可獲得關(guān)于a,c的等式，從而可求得離心率的值；（2）因?yàn)楫?dāng)點(diǎn)恰為橢圓的右頂點(diǎn)時(shí)，對(duì)應(yīng)的，此時(shí)點(diǎn)C的坐標(biāo)可表表示為(a,0),再由及可用a將點(diǎn)A的坐標(biāo)表示出來(lái)，因?yàn)辄c(diǎn)在已知橢圓上，將A點(diǎn)坐標(biāo)代入可得到關(guān)于a,b的一個(gè)方程，聯(lián)立可解出a,b的值；（3）注意由（2）結(jié)論可得到：橢圓的方程為，應(yīng)用點(diǎn)差法：設(shè)出，由得到①，再由得到②；再將A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入橢圓方程后相減，可將直線AB的斜率用A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)來(lái)表示，同理將C，D兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入橢圓方程后相減，可將直線CD的斜率用C，D兩點(diǎn)的坐標(biāo)來(lái)表示，由平面幾何知識(shí)可知AB//CD，所以=，再將①②代入即可求出含與的方程，可解得的值，此值若與有關(guān)，則不是定值，此值若與無(wú)關(guān)，則是定值.

試題解析：（1）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719553773698272/SYS201411171955441903637794_DA/SYS201411171955441903637794_DA.023.png">，所以，得，即，

所以離心率. 4分

（2）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719553773698272/SYS201411171955441903637794_DA/SYS201411171955441903637794_DA.028.png">，，所以由，得， 7分

將它代入到橢圓方程中，得，解得，

所以. 10分

（3）法一：設(shè)，

由，得， 12分

又橢圓的方程為，所以由，

得 ①， 且 ②，

由②得，，

即，

結(jié)合①，得， 14分

同理，有，所以，

從而，即為定值. 16分

法二：設(shè)，

由，得，同理， 12分

將坐標(biāo)代入橢圓方程得，兩式相減得

，

即， 14分

同理，，

而，所以，

所以，

所以，

即，所以為定值. 16分

（說(shuō)明：只給對(duì)結(jié)論但未正確證明的，給2分）

考點(diǎn)：1.橢圓的離心率;2.橢圓的方程;3.圓錐曲線的定值問(wèn)題.