Question

【題目】已知橢圓C：（）的離心率為，且過點.

（1）求橢圓C的方程；

（2）過坐標原點的直線與橢圓交于M，N兩點，過點M作圓的一條切線，交橢圓于另一點P，連接，證明：.

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析

【解析】

（1）根據(jù)橢圓的離心率為，且過點，由，，結(jié)合求解.

（2）當直線的斜率不存在時，可得直線的方程為或，驗證即可. 當直線斜率存在時，設(shè)直線的方程為，根據(jù)直線與圓相切，得到，設(shè)，，則，聯(lián)立，由弦長公式求得 ，然后由兩點間的距離公式，將韋達定理代入求得即可.

（1）設(shè)橢圓的半焦距為c，因為橢圓的離心率為，且過點.

所以，，又，

解得，，

所以橢圓C的方程為：.

（2）①當直線的斜率不存在時，依題意，可得直線的方程為或.

若直線：，直線：，可得，，，

則，，所以；

其他情況，由對稱性，同理可得.

②當直線斜率存在時，設(shè)直線的方程為，

∵直線與圓相切，

∴圓心O到直線的距離為，即，

設(shè)，，則，

聯(lián)立，消元y，整理得，

則，.

∴，

∵，

，

∴.

∵，

∴.

綜上可知成立.