Question

19．如圖，在斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側面AA₁B₁B⊥底面ABC，側棱AA₁與底面ABC成60°的角，AA₁=2，底面ABC是邊長為2的正三角形，其重心為G點，E是線段BC₁上一點，且$BE=\frac{1}{3}B{C_1}$．
（1）求證：GE∥側面AA₁B₁B；
（2）求三棱錐E-ABC的體積．

Answer 1

分析 （1）連結B₁E并延長，交BC于點F，連結AB₁，由三角形相似可得F為BC中點．再由G為△ABC的重心，得到GE∥AB₁，由線面平行的判定得答案；
（2）由已知求出三棱柱的高，把三棱錐E-ABC的體積轉化為三棱錐C₁-ABC的體積得答案．

解答 （1）證明：如圖，
連結B₁E并延長，交BC于點F，連結AB₁，
∵△B₁EC₁∽△FEB，且$BE=\frac{1}{2}E{C}_{1}$，
∴$BF=\frac{1}{2}BC$，則點F為BC中點．
∵G為△ABC的重心，∴$\frac{FG}{FA}=\frac{FE}{F{B}_{1}}=\frac{1}{3}$，
∴GE∥AB₁，
又AB₁?面AA₁B₁B，GE?面AA₁B₁B，∴GE∥面AA₁B₁B；
（2）解：∵側面AA₁B₁B⊥底面ABC，過A₁作A₁H⊥AB于H，
則A₁H⊥面ABC，則A₁H為三棱柱的高，
又側棱AA₁與底面ABC成60°的角，AA₁=2，∴${A}_{1}H=\sqrt{3}$．
又底面ABC是邊長為2的正三角形，∴${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}×2×\sqrt{3}=\sqrt{3}$．
∴${V}_{E-ABC}=\frac{1}{3}{V}_{{C}_{1}-ABC}=\frac{1}{3}×\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{1}{3}$．

點評 本小題主要考查空間線面關系、幾何體的體積等知識，考查數(shù)形結合、化歸與轉化的數(shù)學思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力，是中檔題．