Question

1．已知函數(shù)f（x）=tan（ωx+φ）（ω＞0，-$\frac{π}{2}$＜φ＜0）的圖象的一個對稱中心為（$\frac{π}{3}$，0），且相鄰對稱中心的距離為$\frac{π}{4}$，求f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)的對稱性求出ω 和φ的值，即可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

解答 解：∵正切函數(shù)相鄰兩個對稱中心的距離d=$\frac{T}{2}$，
∴函數(shù)的周期T=2d=2×$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$，即$\frac{π}{ω}=\frac{π}{2}$，
∴ω=2，
即f（x）=tan（2x+φ），
由2×$\frac{π}{3}$+φ=$\frac{kπ}{2}$得φ=$\frac{kπ}{2}$-$\frac{2π}{3}$，
∵-$\frac{π}{2}$＜φ＜0，
∴當(dāng)k=1時，φ=$\frac{π}{2}-\frac{2π}{3}$=-$\frac{π}{6}$，
則f（x）=tan（2x-$\frac{π}{6}$），
由kπ-$\frac{π}{2}$＜2x-$\frac{π}{6}$＜kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
得$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{3}$＜x＜$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{3}$，k∈Z，
即函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為為（$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{3}$，$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{3}$），k∈Z，無遞減區(qū)間．

點評 本題主要考查正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用正切函數(shù)的對稱性是解決本題的關(guān)鍵．注意正切函數(shù)y=tanx的對稱中心為（$\frac{kπ}{2}$，0）．