Question

1．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{9}=1$，一組平行直線的斜率是$\frac{3}{2}$．
（1）這組直線何時與橢圓相交？
（2）當它們與橢圓相交時，證明這些直線被橢圓截得的線段的中點在一條直線上．

Answer 1

分析 （1）設出平行直線的方程：y=$\frac{3}{2}$x+m，代入橢圓方程，消去y，由判別式大于0，可得m的范圍；
（2）運用中點坐標公式和參數(shù)方程，消去m，即可得到所求的結論．

解答 解：（1）設一組平行直線的方程為y=$\frac{3}{2}$x+m，
代入橢圓方程，可得
9x²+4（$\frac{9}{4}$x²+3mx+m²）=36，
即為18x²+12mx+4m²-36=0，
由判別式大于0，可得
144m²-72（4m²-36）＞0，
解得-3$\sqrt{2}$＜m＜3$\sqrt{2}$，
則這組平行直線的縱截距在（-3$\sqrt{2}$，3$\sqrt{2}$），與橢圓相交；
（2）證明：由（1）直線和橢圓方程聯(lián)立，可得
18x²+12mx+4m²-36=0，
即有x₁+x₂=-$\frac{2}{3}$m，
截得弦的中點為（-$\frac{1}{3}$m，$\frac{1}{2}$m），
由$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{1}{3}m}\\{y=\frac{1}{2}m}\end{array}\right.$，消去m，可得y=-$\frac{3}{2}$x．
則這些直線被橢圓截得的線段的中點在一條直線y=-$\frac{3}{2}$x上．

點評 本題考查直線和橢圓的位置關系，考查直線方程和橢圓方程聯(lián)立，運用韋達定理和判別式，以及中點坐標公式，考查運算能力，屬于中檔題．