Question

17．已知$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$是兩個(gè)非零向量，當(dāng)$\overrightarrow{a}$+t$\overrightarrow$（t∈R）的模取最小值時(shí)，
①求t的值．
②已知$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$成45°角，求證$\overrightarrow$與$\overrightarrow{a}$+t$\overrightarrow$（t∈R）垂直．

Answer 1

分析 ①令m=|$\overrightarrow{a}$+t$\overrightarrow$|，$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$夾角為θ，對(duì)m²進(jìn)行變形，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得其取最小值時(shí)t的值；
②當(dāng)$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$成45°角，cosθ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，只需證明$\overrightarrow$•（$\overrightarrow{a}$+t$\overrightarrow$）=0即可．

解答 解：①令m=|$\overrightarrow{a}$+t$\overrightarrow$（t∈R），${\overrightarrow{m}}^{2}={\overrightarrow{a}}^{2}+{t}^{2}{\overrightarrow}^{2}+2t|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow|cosθ$，
所以當(dāng)t=-$\frac{|\overrightarrow{a}|cosθ}{|\overrightarrow|}$時(shí)，mmin=|$\overrightarrow{a}$|sinθ；
②證明：因?yàn)?\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$成45°角，
t=-$\frac{\sqrt{2}}{2}\frac{|\overrightarrow{a}|}{|\overrightarrow|}$，
所以$\overrightarrow$•（$\overrightarrow{a}$+t$\overrightarrow$）=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow+t{\overrightarrow}^{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|$-$\frac{\sqrt{2}}{2}\frac{|\overrightarrow{a}|}{|\overrightarrow|}×|\overrightarrow{|}^{2}$=0，
所以$\overrightarrow$與$\overrightarrow{a}$+t$\overrightarrow$（t∈R）垂直；

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用平面向量的數(shù)量積證明向量垂直，屬基礎(chǔ)題．