Question

12．已知函數(shù)f（x）=sinωx（sinωx+2$\sqrt{3}$cosωx）+sin（ωx-$\frac{π}{4}$）sin（ωx+$\frac{π}{4}$）（其中ω為常數(shù)，且ω＞0），函數(shù)g（x）=f（x）-$\frac{5}{2}$的部分圖象如圖所示．
（I）求函數(shù)g（x）的單凋遞減區(qū)間；
（Ⅱ）當(dāng)x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$]時(shí)，求函數(shù)f（x）的取值范圍．

Answer 1

分析 解：（Ⅰ）化簡函數(shù)f（x），寫出函數(shù)g（x）=f（x）-$\frac{5}{2}$的解析式，結(jié)合圖象求出g（x）的解析式與單調(diào)遞減區(qū)間；
（Ⅱ）利用正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，求出x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$]時(shí)函數(shù)f（x）的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=sinωx（sinωx+2$\sqrt{3}$cosωx）+sin（ωx-$\frac{π}{4}$）sin（ωx+$\frac{π}{4}$）
=sin²ωx+2$\sqrt{3}$sinωxcosωx+$\frac{\sqrt{2}}{2}$（sinωx-cosωx）•$\frac{\sqrt{2}}{2}$（sinωx+cosωx）
=sin²ωx+2$\sqrt{3}$sinωxcosωx+$\frac{1}{2}$（sin²ωx-cos²ωx）
=$\frac{1}{2}$（1-cos2ωx）+$\sqrt{3}$sin2ωx-$\frac{1}{2}$cos2ωx
=$\sqrt{3}$sin2ωx-cos2ωx+$\frac{1}{2}$
=2sim（2ωx-$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$，
∴函數(shù)g（x）=f（x）-$\frac{5}{2}$=2sin（2ωx-$\frac{π}{6}$）-2；
由圖象知，$\frac{T}{2}$=$\frac{5π}{6}$-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$，
解得T=2，即$\frac{2π}{2ω}$=π，
解得ω=1，
∴g（x）=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）-2；
∴函數(shù)g（x）的單凋遞減區(qū)間是[$\frac{π}{3}$+kπ，$\frac{5π}{6}$+kπ]，k∈Z；
（Ⅱ）當(dāng)x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$]時(shí)，2x∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$]，
2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{3}$]，
∴sin（2x-$\frac{π}{6}$）∈[-1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$]，
∴2sin（2x-$\frac{π}{6}$）∈[-2，$\sqrt{3}$]，
∴2sin（2x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$∈[-$\frac{3}{2}$，$\sqrt{3}$+$\frac{1}{2}$]，
即函數(shù)f（x）的取值范圍是[-$\frac{3}{2}$，$\sqrt{3}$+$\frac{1}{2}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，也考查了三角函數(shù)的恒等變換問題，是基礎(chǔ)題目．