Question

5．已知點(diǎn)列（a_n，a_n+1）（n∈N^*）在函數(shù)f（x）=-$\frac{1}{x+2}$的圖象上，a₁=f（0）且b_n=$\frac{1}{{a}_{n}+1}$．
（1）求b₁，b₂，b₃，b₄；
（2）根據(jù)以上的結(jié)果猜想b_n的表達(dá)式，并證明．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用代入法和點(diǎn)滿足函數(shù)式，計(jì)算即可得到所求值；
（2）猜想b_n=n+1．再由等差數(shù)列的定義，作差化簡，整理即可得到常數(shù)1，即可得證．

解答 解：（1）由題意可得，a₁=f（0）=-$\frac{1}{2}$，
且b_n=$\frac{1}{{a}_{n}+1}$，即有b₁=$\frac{1}{{a}_{1}+1}$=2，
（a_n，a_n+1）（n∈N^*）在函數(shù)f（x）=-$\frac{1}{x+2}$的圖象上，
a_n+1=-$\frac{1}{{a}_{n}+2}$，
a₂=-$\frac{1}{{a}_{1}+2}$=-$\frac{2}{3}$，b₂=$\frac{1}{{a}_{2}+1}$=3，
a₃=-$\frac{3}{4}$，b₃=$\frac{1}{{a}_{3}+1}$=4，
a₄=-$\frac{4}{5}$，b₄=5；
（2）猜想b_n=n+1．
證明：b_n+1-b_n=$\frac{1}{1+{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{1+{a}_{n}}$
=$\frac{1}{-\frac{1}{2+{a}_{n}}+1}$-$\frac{1}{{a}_{n}+1}$=$\frac{{a}_{n}+2}{{a}_{n}+1}$-$\frac{1}{{a}_{n}+1}$=1，
由a₁=-$\frac{1}{2}$，b₁=2，
又{b_n}是以2為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列；
即有b_n=n+1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式，同時(shí)考查函數(shù)與數(shù)列的關(guān)系，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．