Question

15．設(shè)f（x）=x•lnx，g（x）=ax-1，則：
（1）若f（x）≥g（x）恒成立，求a的取值范圍；
（2）證明：y=$\frac{f（x）}{{x}^{2}}$沒有過點P（0，1）的切線；
（3）求證：ln（1+n）＞$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n+1}$．

Answer 1

分析 （1）對式子整理得a≤lnx+$\frac{1}{x}$恒成立，只需判斷右邊式子的最小值即可，利用導函數(shù)求最值的方法求解
（2）函數(shù)定義域為（0，+∞），點P（0，1）不在定義域內(nèi)
（3）利用（1）式的結(jié)論，整理得恒成立式子ln（x+1）≥$\frac{x}{x+1}$，需利用加減進行疊加，想到令$\frac{1}{n}$=x進行求解．

解答 解：（1）f（x）≥g（x）恒成立
∴x•lnx-ax+1≥0恒成立
∴a≤lnx+$\frac{1}{x}$恒成立
h（x）=lnx+$\frac{1}{x}$
h'（x）=$\frac{x-1}{{x}^{2}}$
x∈（0，1）時，h'（x）＜0，h（x）遞減
x∈（1，+∞）時，h'（x）＞0，h（x）遞增
h（x）≥h（1）=1
∴a≤1
（2）y=$\frac{f（x）}{{x}^{2}}$=$\frac{lnx}{x}$
定義域為（0，+∞）
∴P（0，1）沒在函數(shù)圖象上，也沒有過點P（0，1）的切線
（3）當a=1時，由（1）得
lnx≥$\frac{x-1}{x}$
∴l(xiāng)n（x+1）≥$\frac{x}{x+1}$
令$\frac{1}{n}$=x
∴l(xiāng)n（n+1）-lnn≥$\frac{1}{n+1}$
ln2-ln1≥$\frac{1}{2}$
ln3-ln2≥$\frac{1}{3}$
…
ln（n+1）-lnn≥$\frac{1}{n+1}$
累加得ln（1+n）＞$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n+1}$．

點評 考查了恒成立問題的轉(zhuǎn)換和對結(jié)論的分析，探索．