Question

4．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，短軸一個端點到右焦點的距離為2，直線l過點P（-1，0）且與曲線C交于A，B兩點．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ） 求△AOB面積的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過短軸的一個端點到右焦點的距離為2可知a=2，進而利用離心率的值計算即得結論；
（Ⅱ）設直線l的方程為x=my-1，代入橢圓方程，整理，利用韋達定理，計算三角形的面積，換元，利用函數(shù)的單調(diào)性，即可求得結論．

解答 解：（Ⅰ）由題意可得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{a=2}\end{array}\right.$，
解得：a=2，c=$\sqrt{3}$，b=1，
∴橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1；
（Ⅱ）設直線l的方程為x=my-1，代入橢圓方程，整理可得
（m²+4）y²-2my-3=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
y₁y₂=$\frac{-3}{{m}^{2}+4}$，y₁+y₂=$\frac{2m}{{m}^{2}+4}$，
∴|y₁-y₂|=$\frac{4\sqrt{{m}^{2}+3}}{{m}^{2}+4}$，
∴△AOB的面積S=$\frac{1}{2}$|OP||y₁-y₂|=$\frac{2}{\sqrt{{m}^{2}+3}+\frac{1}{\sqrt{{m}^{2}+3}}}$
設t=$\sqrt{{m}^{2}+3}$（t≥$\sqrt{3}$），則g（t）=t+$\frac{1}{t}$在[$\sqrt{3}$，+∞）上為增函數(shù)，
∴g（t）≥$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴S≤$\frac{\sqrt{3}}{2}$，當且僅當m=0時，△AOB的面積最大值為$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

點評 本題是一道直線與圓錐曲線的綜合題，考查三角形面積的計算，考查運算求解能力，屬于中檔題．