Question

13．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$sin2x+cosx，x∈R．
（1）證明：f（x）的最小正周期為2π；
（2）若關(guān)于x的方程f（x）-a=0在區(qū)間[$\frac{π}{6}$，π]上有兩個不同的實數(shù)解，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先說明2π是f（x）的一個周期，再用反證法說法，不存在比2π小的f（x）的周期，可得結(jié)論；
（2）若關(guān)于x的方程f（x）-a=0在區(qū)間[$\frac{π}{6}$，π]上有兩個不同的實數(shù)解，則函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$sin2x+cosx與y=a的圖象在在區(qū)間[$\frac{π}{6}$，π]上有兩個交點，進而可得答案．

解答 證明：（1）∵f（x）=$\frac{1}{2}$sin2x+cosx，
∴f（x+2π）=$\frac{1}{2}$sin2（x+2π）+cos（x+2π）=$\frac{1}{2}$sin2x+cosx=f（x），
即2π是f（x）的一個周期，
假設(shè)f（x）的最小正周期不是2π，
則存在T∈（0，2π）使f（x+T）=f（x）恒成立，
即$\frac{1}{2}$sin2（x+T）+cos（x+T）=$\frac{1}{2}$sin2x+cosx恒成立，
令x=0，則$\frac{1}{2}$sin2T+cosT=1恒成立，不存在滿足條件的T值，
故假設(shè)不成立，
故f（x）的最小正周期為2π；
（2）若關(guān)于x的方程f（x）-a=0在區(qū)間[$\frac{π}{6}$，π]上有兩個不同的實數(shù)解，
則函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$sin2x+cosx與y=a的圖象在在區(qū)間[$\frac{π}{6}$，π]上有兩個交點，
由f′（x）=cos2x-sinx=-2sin²x-sinx+1，
當(dāng)x∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]時，sinx$≥\frac{1}{2}$，f′（x）≤0，函數(shù)f（x）為減函數(shù)，
當(dāng)x∈[$\frac{5π}{6}$，π]時，sinx$≤\frac{1}{2}$，f′（x）≥0，函數(shù)f（x）為增函數(shù)，
又∵f（$\frac{π}{6}$）=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，f（$\frac{5π}{6}$）=-$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，f（π）=-1，
故a∈（-$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，-1]

點評 本題考查的知識點是三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，方程根與函數(shù)零點的關(guān)系，難度中檔．