Question

10．已知實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足$\left\{\begin{array}{l}{y≥0}\\{x-3y≥0}\\{x+y-4≤0}\end{array}\right.$．則x+3y的最大值是6．

Answer 1

分析 作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，目標(biāo)函數(shù)的幾何意義是直線(xiàn)的縱截距，利用數(shù)形結(jié)合，進(jìn)行求最值即可．

解答 解：設(shè)z=x+3y得$y=-\frac{1}{3}x+\frac{z}{3}$，作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖（陰影部分）：
平移直線(xiàn)$y=-\frac{1}{3}x+\frac{z}{3}$由圖象可知當(dāng)直線(xiàn)$y=-\frac{1}{3}x+\frac{z}{3}$經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，直線(xiàn)$y=-\frac{1}{3}x+\frac{z}{3}$的截距最大，
此時(shí)z也最大，由$\left\{\begin{array}{l}{x-3y=0}\\{x+y-4=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=1}\end{array}\right.$，
即A（3，1），
代入目標(biāo)函數(shù)z=x+3y，得z=3+3=6．
故z=x+3y的最大值為6．
故答案為：6

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查線(xiàn)性規(guī)劃的基本應(yīng)用，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，利用數(shù)形結(jié)合是解決問(wèn)題的基本方法．