Question

20．若a，b，c∈（0，+∞），且a+b+c=1，則$\frac{1}{a+b}$+$\frac{1}{b+c}$+$\frac{1}{c+a}$的最小值為（　　）

• A． $\frac{1}{3}$
• B． $\frac{\root{3}{2}}{3}$
• C． $\frac{9}{2}$
• D． $\frac{1}{9}$

Answer 1

分析 根據(jù)不等式：$x、y、z＞0，（x+y+z）（\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}）≥9$和題意，化簡(jiǎn)$\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}$后可得式子的最小值．

解答 解：根據(jù)不等式：$x、y、z＞0，（x+y+z）（\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}）≥9$，
∵a，b，c∈（0，+∞），
∴[（a+b）+（b+c）+（c+a）]（$\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}$）≥9，
又a+b+c=1，則（a+b）+（b+c）+（c+a）=2（a+b+c）=2，
∴$\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}$≥$\frac{9}{2}$，
則$\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}$的最小值是$\frac{9}{2}$，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查不等式：$x、y、z＞0，（x+y+z）（\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}）≥9$的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．