Question

已知橢圓.

（Ⅰ）求的離心率及長軸長；

（Ⅱ）設(shè)過橢圓的上頂點的直線與橢圓的另一個交點為，線段的垂直平分線交橢圓于兩點. 問：是否存在直線使得三點共線（為坐標原點）？若存在，求出所有滿足條件的直線的方程；若不存在，說明理由.

Answer 1

解：（Ⅰ）由題意可知橢圓的標準方程為：，則.

所以 橢圓的長軸長為.                                  

因為 ，

所以 ，即的離心率為.                        

（Ⅱ）若三點共線，由是線段的垂直平分線可得：

.                                                   

由（Ⅰ）可得，設(shè).                              

所以 .       ①

又因為 ，     ②                                  

由①②可得： （舍），或                       

當時，直線的方程為，顯然滿足題意.

所以 存在直線使得三點共線，直線的方程為.