Question

3．若函數(shù)f（x）=$\frac{1}{4}$x⁴+$\frac{1}{2}$ax²+bx+d的導(dǎo)函數(shù)有三個零點，分別為x₁，x₂，x₃且滿足：x₁＜-2，x₂=2，x₃＞2，則實數(shù)a的取值范圍是（　　）

• A． （-∞，-1）
• B． （-∞，-3）
• C． （-7，+∞）
• D． （-∞，-12）

Answer 1

分析 首先求導(dǎo)f′（x）=x³+ax+b；再由題意可因式分解成f′（x）=（x-2）（x²+2x+a+4）；從而可得x²+2x+a+4=0的兩根為x₁＜-2，x₂＞2，從而解得．

解答 解：∵f（x）=$\frac{1}{4}$x⁴+$\frac{1}{2}$ax²+bx+d，
∴f′（x）=x³+ax+b；
又∵f′（x）=x³+ax+b有三個零點，且x₁＜-2，x₂=2，x₃＞2，
故f′（x）=（x-2）（x²+2x+a+4）；
故x²+2x+a+4=0的兩根為x₁＜-2，x₂＞2，
故只需使2²+2×2+a+4＜0，
解得，a＜-12；
故選D．

點評 本題考查了導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算及因式分解的應(yīng)用，同時考查了二次函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用，屬于中檔題．