Question

16．甲、乙兩人投骰子，規(guī)定：投擲出來的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)，得一分，若投擲的是偶數(shù)則不加分；甲投擲3次，記甲得分?jǐn)?shù)為ξ；乙射擊2次，記乙的分?jǐn)?shù)為η．規(guī)定：若ξ＞η，則甲獲勝；若ξ＜η，則乙獲勝．
（1）求甲得分ξ的分布列和期望值；   
（2）求出甲獲勝的概率．

Answer 1

分析 （1）由已知得甲得分ξ的可能取值為0，1，2，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法．
（2）甲獲勝包含ξ=1，η=0；ξ=2，η=0或η=1；ξ=3，三種情況，由此利用已知條件能求出甲獲勝的概率．

解答 解：（1）由已知得甲得分ξ的可能取值為0，1，2，3，
P（ξ=0）=$（\frac{1}{2}）^{3}$=$\frac{1}{8}$，
P（ξ=1）=${C}_{3}^{1}（\frac{1}{2}）（\frac{1}{2}）^{2}$=$\frac{3}{8}$，
P（ξ=2）=${C}_{3}^{2}（\frac{1}{2}）^{2}（\frac{1}{2}）$=$\frac{3}{8}$，
P（ξ=3）=$（\frac{1}{2}）^{3}$=$\frac{1}{8}$，
∴ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{1}{8}$	$\frac{3}{8}$	$\frac{3}{8}$	$\frac{1}{8}$

Eξ=$0×\frac{1}{8}+1×\frac{3}{8}+2×\frac{3}{8}+3×\frac{1}{8}$=$\frac{3}{2}$．
（2）甲獲勝包含ξ=1，η=0；ξ=2，η=0或η=1；ξ=3，三種情況，
∵P（η=0）=$（\frac{1}{2}）^{2}$=$\frac{1}{4}$，P（η=1）=${C}_{2}^{1}（\frac{1}{2}）（\frac{1}{2}）$=$\frac{1}{2}$，P（η=2）=$（\frac{1}{2}）^{2}$=$\frac{1}{4}$，
∴甲獲勝的概率：
P=P（ξ=1）•P（η=0）+P（ξ=2）•[1-P（η=2）]+P（ξ=3）
=$\frac{3}{8}×\frac{1}{4}$+$\frac{3}{8}（1-\frac{1}{4}）$+$\frac{1}{8}$
=$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，考查概率的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意排列組合知識(shí)的合理運(yùn)用．