Question

1．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）過點(diǎn)A（1，$\frac{3}{2}$），且離心率e=$\frac{1}{2}$．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若直線l：y=kx+m（k≠0）與橢圓交于不同的兩點(diǎn)M，N，且線段MN的垂直平分線過定點(diǎn)G（$\frac{1}{8}$，0），求k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由離心率得到a，c，b的關(guān)系，進(jìn)一步把橢圓方程用含有c的代數(shù)式表示，再結(jié)合點(diǎn)（1，$\frac{3}{2}$）在橢圓上求得c，則橢圓方程可求；
（2）設(shè)出M，N的坐標(biāo)，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，由判別式大于0得到m²＜4k²+3，再結(jié)合根與系數(shù)關(guān)系得到MN中點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-$\frac{4km}{3+4{k}^{2}}$，$\frac{3m}{3+4{k}^{2}}$）．求出MN的垂直平分線l'方程，由P在l'上，得到4k²+8km+3=0．結(jié)合m²＜4k²+3求得k的取值范圍．

解答 解：（1）由e=$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，得a=2c，∴b²=a²-c²=3c²，
∴橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{4{c}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{3{c}^{2}}=1$，又點(diǎn)（1，$\frac{3}{2}$）在橢圓上，
∴$\frac{1}{4{c}^{2}}+\frac{\frac{9}{4}}{3{c}^{2}}=1$，即c²=1，
∴橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（2）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\\{y=kx+m}\end{array}\right.$，消去y并整理得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0．
∵直線y=kx+m與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)，
∴△=（8km）²-4（3+4k²）（4m²-12）＞0，即m²＜4k²+3，
又${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{8km}{3+4{k}^{2}}$，∴MN中點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-$\frac{4km}{3+4{k}^{2}}$，$\frac{3m}{3+4{k}^{2}}$）．
設(shè)MN的垂直平分線l'方程：y=-$\frac{1}{k}$（x-$\frac{1}{8}$），
∵p在l′上，∴$\frac{3m}{3+4{k}^{2}}$=-$\frac{1}{k}$（-$\frac{4km}{3+4{k}^{2}}$-$\frac{1}{8}$），即4k²+8km+3=0．
∴m=-$\frac{1}{8k}$（4k2+3），
將上式代入得$\frac{（4{k}^{2}+3）^{2}}{64{k}^{2}}＜4{k}^{2}+3$，
∴${k}^{2}＞\frac{1}{20}$，即k＞$\frac{\sqrt{5}}{10}$或k＜-$\frac{\sqrt{5}}{10}$，∴k的取值范圍為（-∞，-$\frac{\sqrt{5}}{10}$）∪（$\frac{\sqrt{5}}{10}$，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓方程的求法，考查了直線和圓錐曲線間的關(guān)系，涉及直線和圓錐曲線的關(guān)系問題，常采用聯(lián)立直線方程和圓錐曲線方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系求解，是中檔題．