Question

1．已知曲線(xiàn)C的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}{xcosθ=3}\\{y=4tanθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），則曲線(xiàn)C的離心率為$\frac{5}{3}$．若點(diǎn)P（x，y）在曲線(xiàn)C上運(yùn)動(dòng)，則x-$\frac{1}{2}$y的取值范圍是[-$\sqrt{5}$，3]．

Answer 1

分析 由$\left\{\begin{array}{l}{secθ=\frac{x}{3}}\\{tanθ=\frac{y}{4}}\end{array}\right.$，1+tan²θ=sec²θ，求出曲線(xiàn)C的直角坐標(biāo)方程為$\frac{{x}^{2}}{9}-\frac{{y}^{2}}{16}$=1，由此能求出曲線(xiàn)C的離心率；x-$\frac{1}{2}$y=$\frac{3}{cosθ}-2tanθ$=$\frac{3-2sinθ}{cosθ}$，設(shè)f（θ）=$\frac{3-2sinθ}{cosθ}$，利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出x-$\frac{1}{2}$y的取值范圍．

解答 解：∵曲線(xiàn)C的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}{xcosθ=3}\\{y=4tanθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），
∴$\left\{\begin{array}{l}{secθ=\frac{x}{3}}\\{tanθ=\frac{y}{4}}\end{array}\right.$，∵1+tan²θ=sec²θ，
∴1+$\frac{{y}^{2}}{16}$=$\frac{{x}^{2}}{9}$，∴曲線(xiàn)C的直角坐標(biāo)方程為$\frac{{x}^{2}}{9}-\frac{{y}^{2}}{16}$=1，
∵a=3，b=4，c=5，
∴曲線(xiàn)C的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{5}{3}$．
∵曲線(xiàn)C的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}{xcosθ=3}\\{y=4tanθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），
∴x-$\frac{1}{2}$y=$\frac{3}{cosθ}-2tanθ$=$\frac{3-2sinθ}{cosθ}$，
設(shè)f（θ）=$\frac{3-2sinθ}{cosθ}$，則${f}^{'}（θ）=\frac{3sinθ-2}{co{s}^{2}θ}$，
∴由f′（θ）=0，得$sinθ=\frac{2}{3}$，
∴sinθ=$\frac{2}{3}$時(shí)，f（θ）_min=-$\frac{3-2×\frac{2}{3}}{\sqrt{1-（\frac{2}{3}）^{2}}}$=-$\sqrt{5}$，
f（0）=$\frac{3-2sin0}{cos0}$=3，f（2π）=f（0）=3，
∴f（θ）_max=3．
∴x-$\frac{1}{2}$y的取值范圍是[-$\sqrt{5}$，3]．
故答案為：$\frac{5}{3}$，[-$\sqrt{5}$，3]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查曲線(xiàn)的離心率的求法，考查代數(shù)式的取值范圍的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)和三角函數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．