Question

2．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的實軸長為4$\sqrt{2}$，虛軸的一個端點與拋物線x²=2py（p＞0）的焦點重合，直線y=kx-1與拋物線相切且與雙曲線的一條漸近線平行，則p=4．

Answer 1

分析 求得拋物線的焦點，可得b=$\frac{p}{2}$，①，由漸近線方程可得k=$\frac{2\sqrt{2}}$，②，將直線方程代入拋物線方程，運用相切的條件，可得p=$\frac{2}{{k}^{2}}$，③解方程即可得到p=4．

解答 解：由題意可得a=2$\sqrt{2}$，
拋物線x²=2py（p＞0）的焦點為（0，$\frac{p}{2}$），
即有b=$\frac{p}{2}$，①
由題意可得k=$\frac{a}$=$\frac{2\sqrt{2}}$，②
直線y=kx-1代入拋物線方程，可得
x²-2pkx+2p=0，
由判別式為0，即4p²k²=8p，
即為p=$\frac{2}{{k}^{2}}$，③
由①②③，解得p=4，b=2．
故答案為：4．

點評 本題考查雙曲線和拋物線的方程和性質(zhì)，考查直線和拋物線的位置關(guān)系，考查運算能力，屬于中檔題．