Question

14．已知定義y=log_（x+1）F（x，y），若e＜x＜y，證明：F（x-1，y）＞F（y-1，x）

Answer 1

分析 通過(guò)對(duì)數(shù)與指數(shù)之間的關(guān)系可知問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明x^y＞y^x，變形后即證$\frac{lnx}{x}$＞$\frac{lny}{y}$，通過(guò)構(gòu)造函數(shù)h（x）=$\frac{lnx}{x}$，利用導(dǎo)數(shù)知識(shí)可知函數(shù)h（x）在區(qū)間（e，+∞）上單調(diào)遞減，進(jìn)而可得結(jié)論．

解答 證明：∵y=log_（x+1）F（x，y），
∴F（x，y）=（1+x）^y，
∴F（x-1，y）=x^y，F(xiàn)（y-1，x）=y^x，
依題意，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明x^y＞y^x，
即證ylnx＞xlny，即證$\frac{lnx}{x}$＞$\frac{lny}{y}$，
記h（x）=$\frac{lnx}{x}$，則h′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，
∵當(dāng)x＞e時(shí)，h′（x）＞0，
∴函數(shù)h（x）在區(qū)間（e，+∞）上單調(diào)遞減，
又∵e＜x＜y，
∴h（x）＞h（y），
即F（x-1，y）＞F（y-1，x）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查不等式的證明，涉及函數(shù)單調(diào)性等基礎(chǔ)知識(shí)，注意解題方法的積累，屬于中檔題．