Question

7．如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，△BCD中，∠CBD=90°，∠BDC=60°，BC=6，△ABC和△BCD相互垂直．
（1）求證：平面ABD⊥平面ACD．
（2）求二面角A-CD-B的正切值．

Answer 1

分析 （1）如圖所示，取BC的中點(diǎn)O，CD的中點(diǎn)M，連接OA，OM．可得AO⊥BC．利用面面垂直的性質(zhì)定理可得：AO⊥平面BCD，AO⊥OM．又OM∥BD，BD⊥BC，可得OM⊥BC．
以O(shè)M，OB，OA所在直線建立空間直角坐標(biāo)系．利用線面垂直的性質(zhì)定理分別求出平面ACD的法向量為$\overrightarrow{m}$，平面ABD的法向量$\overrightarrow{n}$．只要證明$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=0，即可．
（2）取平面ACB的法向量$\overrightarrow{v}$=（1，0，0）．可得$cos＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{v}＞$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{v}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{v}|}$．再利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式即可得出．

解答 （1）證明：如圖所示，
取BC的中點(diǎn)O，CD的中點(diǎn)M，連接OA，OM．
又∵AC=AB，∴AO⊥BC，
∵平面ABC⊥平面BCD，
∴AO⊥平面BCD．
∴AO⊥OM．
∵OM∥BD，BD⊥BC，
∴OM⊥BC．
以O(shè)M，OB，OA所在直線建立空間直角坐標(biāo)系．
則A（0，0，3），B（0，3，0），C（0，-3，0），D（2$\sqrt{3}$，3，0）．
∴$\overrightarrow{AD}$=（2$\sqrt{3}$，3，-3），$\overrightarrow{AC}$=（0，-3，-3），$\overrightarrow{AB}$=（0，3，-3）．
設(shè)平面ACD的法向量為$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AD}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AC}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{2\sqrt{3}x+3y-3z=0}\\{-3y-3z=0}\end{array}\right.$，
取$\overrightarrow{m}$=$（\sqrt{3}，-1，1）$．
同理可得平面ABD的法向量$\overrightarrow{n}$=（0，1，1）．
∵$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=0-1+1=0，
∴$\overrightarrow{m}⊥\overrightarrow{n}$．
∴平面ABD⊥平面ACD．
（2）解：取平面ACB的法向量$\overrightarrow{v}$=（1，0，0）．
則$cos＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{v}＞$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{v}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{v}|}$=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}×1}$=$\frac{\sqrt{15}}{5}$．
∴$sin＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{v}＞$=$\sqrt{1-（\frac{\sqrt{15}}{5}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$．
∴二面角A-CD-B的正切值=$\frac{sin＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{v}＞}{cos＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{v}＞}$=$\frac{\frac{\sqrt{10}}{5}}{\frac{\sqrt{15}}{5}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查了空間線面位置關(guān)系、空間角、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．