Question

12．已知函數(shù)f（x）=2x³-6x²+a在[-2，2]上有最小值-37．
（Ⅰ）求a的值；     
（Ⅱ）求f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求得[-2，2]的單調(diào)區(qū)間，求得最小值，解方程可得a的值；
（Ⅱ）求得x=1處切線的斜率和切點(diǎn)，由點(diǎn)斜式方程，可得切線方程．

解答 解：（Ⅰ）f（x）的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=6x²-12x，
令f′（x）=0，得到x=0或x=2．
x∈[-2，0），f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，
x∈[0，2]，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減．
又f（-2）=a-40，f（2）=a-8＞f（-2），
所以f（x）_min=a-40=-37，解得a=3．
（Ⅱ）f′（1）=-6，f（1）=-1，
所以f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為y-（-1）=-6（x-1），
即6x+y-5=0．

點(diǎn)評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線方程和極值、最值，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．