Question

7．已知等差數(shù)列{a_n}，a₃=7，a₂+a₅+a₈=39，
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=$\frac{3}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$，T_n是數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和，求使得T_n＜$\frac{m}{20}$對(duì)所有n∈N^*都成立的最小正整數(shù)m．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)條件建立方程組解方程即可求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求出數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式，利用裂項(xiàng)法進(jìn)行求和即可．

解答 解：（1）由題意知：3a₅=39，則a₅=13，
$又∵d=\frac{{{a_5}-{a_3}}}{5-3}=\frac{13-7}{2}=3$，
∴a_n=a₃+（n-3）d=3n-2
（2）b_n=$\frac{3}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$=$\frac{3}{（3n-2）（3n+1）}$=$\frac{1}{3n-2}$-$\frac{1}{3n+1}$，
則T_n=1-$\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{7}$+…+$\frac{1}{3n-2}$-$\frac{1}{3n+1}$=1-$\frac{1}{3n+1}$＜1，
∴T_n的最小值為T₁=$\frac{3}{4}$，
要使得T_n＜$\frac{m}{20}$對(duì)所有n∈N^*都成立，
則$\frac{m}{20}$≥1，
即m≥20，
即m的最小正整數(shù)m=20．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式以及數(shù)列求和的應(yīng)用，利用裂項(xiàng)法是解決本題的關(guān)鍵．