Question

【題目】如圖，已知四棱錐中，底面是正方形，側(cè)面底面，，，是的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，且.

（1）求證：；

（2）求點(diǎn)到平面的距離.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

（1）過作于，連結(jié)，根據(jù)，，是的中點(diǎn)，利用平面幾何的知識，得到，再結(jié)合，即，得到，利用線面垂直的判定定理得到面即可.

（2）由（1）知，平面，將點(diǎn)到平面的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離，根據(jù)側(cè)面底面，得到側(cè)面，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，利用等體積法由求解.

（1）如圖所示：

過作于，連結(jié)，

因?yàn)?/span>，，是的中點(diǎn)，

所以，

所以，

∵底面是正方形，，即，

∴是矩形，

∴，

又，，

∴面，

又∵面，

∴.

（2）由（1）知，平面，

∴點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離，

∵底面是正方形，側(cè)面底面，

∴側(cè)面，

∴，

在三棱錐中，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，

由于，

∴，

在側(cè)面中，，，是中點(diǎn)，

∴，，

∴，

∴，

即點(diǎn)到平面的距離為.