Question

【題目】如圖，在中，，點(diǎn)P為的中點(diǎn)，交于點(diǎn)D，現(xiàn)將沿翻折至，使得平面平面.

（1）若Q為線段的中點(diǎn)，求證：平面；

（2）在線段上是否存在點(diǎn)E，使得二面角大小為.若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)E所在位置，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）存在；E為線段的中點(diǎn)

【解析】

（1）推導(dǎo)出，，從而，推導(dǎo)出，，進(jìn)而平面，由此能求出，，由此能證明平面．

（2）推導(dǎo)出，，得平面，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，所在直線為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，當(dāng)點(diǎn)為線段的中點(diǎn)時(shí)，二面角的大小為．

解：（1）證明：在中，，，

將沿翻折至，，

又，平面，

平面，，

在中，Q為的中點(diǎn)，，

又，平面

（2）在，，，又沿翻折至，

且平面平面，由（1）有，得平面.

以點(diǎn)P為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示.

則，

.

設(shè)，則，所以

設(shè)平面的一個(gè)法向量為

則由即

可得

可取平面的一個(gè)法向量為

則，解得.

所以當(dāng)點(diǎn)E為線段的中點(diǎn)時(shí)，二面角大小為.