Question

16．已知函數(shù)f（x）=$\frac{{a•{2^x}+1}}{{{2^x}-1}}（{a∈R}）$為奇函數(shù)，
（1）求a的值；
（2）求f（x）的反函數(shù)f^-1（x）；
（3）解關(guān)于x的不等式：f^-1（x）＞log₂$\frac{x+1}{k}（{k∈R，k≠0}）$．

Answer 1

分析 （1）利用函數(shù)的奇偶性，得到f（-x）=-f（x），解方程即可求a的值；
（2）根據(jù)反函數(shù)的定義即可f（x）的反函數(shù)f^-1（x）；
（3）根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合分式不等式的解法進(jìn)行求解即可．

解答 解：（1）∵函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x≠0}且f（x）是奇函數(shù)，
∴f（-x）=-f（x），
即f（-x）+f（x）=0，
即$\frac{a•{2}^{-x}+1}{{2}^{-x}-1}$+$\frac{a•{2}^{x}+1}{{2}^{x}-1}$=0，
則$\frac{a+{2}^{x}}{1-{2}^{x}}$+$\frac{a•{2}^{x}+1}{{2}^{x}-1}$=0，
即-a-2^x+a•2^x+1=0，
則（1-a）（1-2^x）=0，
∵x≠0，
∴1-a=0．即a=1．
此時(shí)f（x）=$\frac{{2}^{x}+1}{{2}^{x}-1}$．
（2）由y=$\frac{{2}^{x}+1}{{2}^{x}-1}$得（2^x-1）y=2^x+1．
即y•2^x-y=1+2^x，
即（y-1）•2^x=1+y，
當(dāng)y=1時(shí)，方程等價(jià)為0=1，不成立，
∴y≠1，
則2^x=$\frac{1+y}{y-1}$，由2^x=$\frac{1+y}{y-1}$＞0得y＞1或y＜-1，
即函數(shù)f（x）的值域?yàn)椋?∞，-1）∪（1，+∞），
由2^x=$\frac{1+y}{y-1}$，得x=log₂$\frac{1+y}{y-1}$，
即f（x）的反函數(shù)f^-1（x）=log₂$\frac{1+x}{x-1}$，x∈（-∞，-1）∪（1，+∞）；
（3）∵f^-1（x）＞log₂$\frac{x+1}{k}（{k∈R，k≠0}）$．
∴l(xiāng)og₂$\frac{1+x}{x-1}$＞log₂$\frac{x+1}{k}（{k∈R，k≠0}）$．
①若k＞0，則x+1＞0，即x＞-1，
∵x∈（-∞，-1）∪（1，+∞）；
∴此時(shí)x＞1，
此時(shí)不等式等價(jià)為$\frac{1+x}{x-1}$＞$\frac{x+1}{k}$，即$\frac{1}{x-1}$$＞\frac{1}{k}$，
則0＜x-1＜k，即1＜x＜k+1，
②若k＜0，則x+1＜0，即x＜-1，
∵x∈（-∞，-1）∪（1，+∞）；
∴此時(shí)x＜-1，
此時(shí)不等式等價(jià)為$\frac{1+x}{x-1}$＞$\frac{x+1}{k}$，即$\frac{1}{x-1}$＜$\frac{1}{k}$，
則x-1＞k，即-1＞x＞k+1，
此時(shí)k+1＜-1，即k＜-2，
即當(dāng)k＜-2時(shí)，不等式的解集為（1+k，-1）．
-2≤k＜0時(shí)，不等式的解集為空集．
綜上若k＞0，不等式的解集為（1，1+k），
若當(dāng)k＜-2時(shí)，不等式的解集為（1+k，-1）．
-2≤k＜0時(shí)，不等式的解集為空集．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)奇偶性的應(yīng)用以及函數(shù)反函數(shù)的求解，對(duì)數(shù)不等式的求解，綜合性較強(qiáng)，運(yùn)算量較大，有一定的難度．