Question

4．在△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，已知a=3，b=8，$\overrightarrow m$=（cosA，sinB），$\overrightarrow n$=（cosB，-sinA），又$\overrightarrow m•\overrightarrow n$=$-\frac{1}{2}$．
（1）求角C的值；
（2）求c及△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）由平面向量數(shù)量積的運(yùn)算及三角函數(shù)恒等變換可得$cos（A+B）=-\frac{1}{2}$，結(jié)合A+B的范圍即可得解．
（2）利用余弦定理可求c，根據(jù)三角形面積公式即可得解．

解答 解：（1）由$\overrightarrow m•\overrightarrow n=-\frac{1}{2}$得$cosAcosB-sinAsinB=-\frac{1}{2}$，即$cos（A+B）=-\frac{1}{2}$，
∵$0＜A+B＜π∴A+B=\frac{2π}{3}$，
∴$C=\frac{π}{3}$---------（5分）
（2）由余弦定理得c²=a²+b-2abcosC=49，
∴$c=7，{S_{△ABC}}=\frac{1}{2}absinC=6\sqrt{3}$--（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，余弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，三角形面積公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．