Question

6．方程$\sqrt{1-{x^2}}$=k（x-1）+2有兩個(gè)不等實(shí)根，則k的取值范圍是（$\frac{3}{4}$，1]．

Answer 1

分析 由題意可得，函數(shù)y=$\sqrt{1-{x}^{2}}$的圖象和直線y=k（x-1）+2有2個(gè)交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合求得k的范圍．

解答 解：方程$\sqrt{1-{x^2}}$=k（x-1）+2有兩個(gè)不等實(shí)根，
即函數(shù)y=$\sqrt{1-{x}^{2}}$的圖象和直線y=k（x-1）+2有2個(gè)交點(diǎn)．
而函數(shù)y=$\sqrt{1-{x}^{2}}$的圖象是以原點(diǎn)為圓心，半徑等于1的上半圓
（位于x軸及x軸上方的部分），
直線y=k（x-1）+2，即kx-y+2-k=0 的斜率為k，且經(jīng)過點(diǎn)M（1，2），
當(dāng)直線和半圓相切時(shí)，由$\frac{|0-0+2-k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=1，求得k=$\frac{3}{4}$．
當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)A（-1，0）時(shí)，由0=k（-1-2）+3求得k=1．
數(shù)形結(jié)合可得k的范圍為（$\frac{3}{4}$，1]．
故答案為：（$\frac{3}{4}$，1]．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查方程的根的存在性及個(gè)數(shù)判斷，體現(xiàn)了函數(shù)和方程的轉(zhuǎn)化及數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．