Question

12．已知拋物線C的頂點(diǎn)是橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1的中心，其焦點(diǎn)與該橢圓的右焦點(diǎn)重合．
（1）求拋物線C的方程；
（2）過(guò)拋物線C的焦點(diǎn)F的直線與拋物線交于M、N兩點(diǎn)，自M、N點(diǎn)向準(zhǔn)線l作垂線，垂足分別為M₁、N₁，記△FBM₁，△FM₁N₁，△FNN₁的面積分別為S₁、S₂、S₃是否存在實(shí)數(shù)λ，使得對(duì)任意過(guò)焦點(diǎn)的直線，都有S₂²=λS₁S₃成立，若存在，求λ的值；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）求出橢圓的焦點(diǎn)，即拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)即可求拋物線C的方程；
（2）聯(lián)立直線方程和拋物線方程，分別求出三角形對(duì)應(yīng)的面積S₁、S₂、S₃，確定面積之間的關(guān)系即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）由題意，設(shè)拋物線為y²=2px，（p＞0）（1分）
由a²-b²=4-3=1，得c=1   （2分）
∴拋物線的焦點(diǎn)為（1，0）
∴p=2   （3分）
∴拋物線C的方程為y²=4x   （4分）
（2）當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)直線為y=k（x-1）（5分）
聯(lián)立y²=4x，消去y
得k²x²-2（k²+2）x+k²=0，
則x₁+x₂=2+$\frac{4}{{k}^{2}}$，x₁x₂=1，
y₁y₂=k²（x₁-1）（x₂-1）=k²[x₁x₂-（x₁+x₂）+1]=k²[1-（2+$\frac{4}{{k}^{2}}$）+1]=-4，
∴S₁=$\frac{1}{2}$（x₁+1）|y₁|，S₂=$\frac{1}{2}$|y₁-y₂|•2=|y₁-y₂|，S₃=$\frac{1}{2}$（x₂+1）|y₂|，
∴S₂²=|y₁-y₂|²=y₁²+y₂²-2y₁y₂=4（x₁+x₂）-2y₁y₂=4（2+$\frac{4}{{k}^{2}}$）+8=16+$\frac{16}{{k}^{2}}$，
S₁S₃=$\frac{1}{4}$（x₁+1）（x₂+1）|y₁y₂|=（x₁+1）（x₂+1）=x₁x₂+x₁+x₂+1=1+2+$\frac{4}{{k}^{2}}$+1=4+$\frac{4}{{k}^{2}}$，（10分）
即S₂²=4S₁S₃，
當(dāng)斜率不存在時(shí)，直線為x=1，
可求得S₄=S₃=2，S₂=4，亦有S₂²=4S₁S₃，（11分）
故存在實(shí)數(shù)4，使得S₂²=4S₁S₃，成立． （12分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查拋物線方程的求解，以及直線和圓錐曲線的位置關(guān)系的應(yīng)用，綜合考查學(xué)生的運(yùn)算和推理能力，綜合性較強(qiáng)，運(yùn)算比較復(fù)雜．