Question

7．如圖，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，AB=PA=2BC=2，M為PB的中點．
（Ⅰ）求證：AM⊥平面PBC；
（Ⅱ）求二面角A-PC-B的余弦值；
（Ⅲ）證明：在線段PC上存在點D，使得BD⊥AC，并求$\frac{PD}{PC}$的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)線面垂直的判定定理即可證明AM⊥平面PBC；
（Ⅱ）建立空間坐標(biāo)系，求出平面的法向量，利用向量法即可求二面角A-PC-B的余弦值；
（Ⅲ）根據(jù)向量關(guān)系，以及直線垂直，利向量法進(jìn)行求解即可．

解答 證明：（Ⅰ）因為PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，
所以PA⊥BC．
因為BC⊥AB，PA∩AB=A，
所以BC⊥平面PAB．又AM?平面PAB，
所以AM⊥BC．
因為PA=AB，M為PB的中點，
所以AM⊥PB．
又PB∩BC=B，
所以AM⊥平面PBC．
（Ⅱ）如圖，在平面ABC內(nèi)，作AZ∥BC，則AP，AB，AZ兩兩互相垂直，
建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz．
則A（0，0，0），P（2，0，0），B（0，2，0），C（0，2，2），M（1，1，0）．
$\overrightarrow{AP}=（2，0，0）$，$\overrightarrow{AC}=（0，2，2）$，$\overrightarrow{AM}=（1，1，0）$
設(shè)平面APC的法向量為$\overrightarrow{n}=（x，y，z）$，則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AP}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=0}\end{array}\right.$
即$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{2y+2z=0}\end{array}\right.$
令y=1，則z=-1．
所以$\overrightarrow{n}$=（0，1，-1）．
由（Ⅰ）可知$\overrightarrow{AM}$=（1，1，0）為平面的法向量，
設(shè)$\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{AM}$的夾角為α，則cosα=$\frac{1}{2}$．
因為二面角A-PC-B為銳角，
所以二面角A-PC-B的余弦值為$\frac{1}{2}$．
（Ⅲ）設(shè)D（u，v，w）是線段PC上一點，且$\overrightarrow{PD}=λ\overrightarrow{PC}$，（0≤λ≤1）．
即（u-2，v，w）=λ（-2，2，2）．
所以u=2-2λ，v=2λ，w=2λ．
所以$\overrightarrow{BD}=（2-2λ，2λ-2，2λ）$．
由$\overrightarrow{BD}•\overrightarrow{AC}=0$，得$λ=\frac{1}{2}$．
因為$\frac{1}{2}∈[0，1]$，
所以在線段PC存在點D，使得BD⊥AC．
此時$\frac{PD}{PC}$=$λ=\frac{1}{2}$．

點評 本題主要考查空間位置關(guān)系的判斷，以及利用向量法求二面角的大小以及空間線面垂直的判定，考查學(xué)生的推理能力．