Question

16．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且滿足a₁=-2，a_n+1+3S_n+2=0（n∈N^*）．
（1）求a₂、a₃的值；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（3）是否存在整數(shù)對（m、n），使得等式a_n²-m•a_n=4m+8成立？若存在，請求出所有滿足條件的（m，n）；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)遞推公式即可求出a₂、a₃的值；
（2）a_n+1+3S_n+2=0，①，a_n+2+3S_n+1+2=0，②，得到a_n+2=-2a_n+1，繼而得到數(shù)列{a_n}是以-2為首項(xiàng)，以-2為公比的等比數(shù)列，問題得以解決；
（3）由題意求出m=（-2）ⁿ-4+$\frac{8}{（-2）^{n}+4}$，分別代入n的值求出（m，n）的坐標(biāo)．

解答 解：（1）a₁=-2，a_n+1+3S_n+2=0（n∈N^*），
∴a₂+3S₁+2=0，a₃+3S₂+2=0，
∴a₂+3a₁+2=0，a₃+3（a₁+a₂）+2=0，
∴a₂=4，a₃=-8，
（2）a_n+1+3S_n+2=0，①，
a_n+2+3S_n+1+2=0，②，
②-①得，a_n+2-a_n+1+3（S_n+1+S_n）=0，
∴a_n+2=-2a_n+1，
∴$\frac{{a}_{n+2}}{{a}_{n+1}}$=-2，
∴數(shù)列{a_n}是以-2為首項(xiàng)，以-2為公比的等比數(shù)列，
∴a_n=-2×（-2）^n-1=（-2）ⁿ，
（3）∵a_n²-m•a_n=4m+8，
∴m=$\frac{{{a}_{n}}^{2}-8}{4+{a}_{n}}$=$\frac{（-2）^{2n}-8}{（-2）^{n}+4}$=$\frac{（-2）^{2n}-16+8}{（-2）^{n}+4}$=（-2）ⁿ-4+$\frac{8}{（-2）^{n}+4}$，
∵m為整數(shù)，則$\frac{8}{（-2）^{n}+4}$為整數(shù)，
當(dāng)n=1時(shí)，m=-2，
當(dāng)n=2時(shí)，m=1，
當(dāng)n=3時(shí)，m=-14，
則滿足條件的（m，n）共有（-2，1），（1，2），（-14，3）．

點(diǎn)評 本題考查了數(shù)列的遞推公式，等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于中檔題．