Question

9．如圖，已知在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是菱形，PA⊥底面ABCD，AB=1，PA•AC=1，∠ABC=θ（0＜θ≤$\frac{π}{2}$），則四棱錐P-ABCD的體積V的取值范圍是（　�。�

• A． [$\frac{\sqrt{2}}{6}$，$\frac{1}{3}$）
• B． （$\frac{\sqrt{2}}{12}$，$\frac{1}{6}$]
• C． （$\frac{\sqrt{2}}{6}$，$\frac{1}{3}$]
• D． [$\frac{\sqrt{2}}{12}$，$\frac{1}{6}$）

Answer 1

分析 先根據條件得到四邊形ABCD的面積S=sinθ，由余弦定理可求得AC=$\sqrt{2-2cosθ}$，即可得到PA，進而表示出四棱錐P-ABCD的體積，整理后再借助于三角函數的取值范圍即可解題．

解答 解：S_菱形ABCD=$2•\frac{1}{2}AB•BC•sinθ$=sinθ，
在△ABC中，由余弦定理得AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}-2AB•BCcosθ}$=$\sqrt{2-2cosθ}$．
∵PA•AC=1，∴PA=$\frac{1}{\sqrt{2-2cosθ}}$．
∴四棱錐P-ABCD的體積V=$\frac{1}{3}{S}_{菱形ABCD}•PA$=$\frac{\sqrt{2}}{6}×$$\sqrt{\frac{si{n}^{2}θ}{1-cosθ}}$=$\frac{\sqrt{2}}{6}×\sqrt{1+cosθ}$．
∵0＜θ≤$\frac{π}{2}$，∴0≤cosθ＜1．∴$\frac{\sqrt{2}}{6}$≤V＜$\frac{1}{3}$．
故選：A．

點評 本題考查了余弦定理，三角函數的最值，棱錐的體積計算，屬于中檔題．